Note/ 多大的集合可以刻画预测分布？

Asymptotic scaling of ensemble size: identify how the sampling uncertainty of statistical quantities converges with ensemble size

Theory

不同moment和quantile的采样不确定性都遵从 ~√N（中心极限定理）

• quantile的不确定性还有另一项约束：~1/√p(1-p)，对rare events大幅增长（Fig 1）
• Leutbecher（2019）：提出skill如何随ensemble增长的理论框架：CRPS或其他不涉及rare events的分数 ~ √1+1/n

Craig22

Craig, G. C. et al. Distributions and convergence of forecast variables in a 1,000-member convection-permitting ensemble. Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society 148, 2325–2343 (2022).

• 提出分布形状随lead变化的概念模型

  • 初始不确定性（高斯，较小）– error growth（中小尺度先饱和？） –> 扩大、非高斯（可能多模态或偏态）的分布 – unpredictable regime transition / memory decay –> 宽而平滑的气候态分布
• nesting模式的不确定性：收到驱动的全球模式限制，forcing弱时model physics才会占主导
• S2S尺度的variability受到快变天气过程的影响，可能掩盖可预测性的影响
• 分布都可以分为三种：准高斯、偏态、多模态分布

• 用1k个集合成员的3km对流允许模式检验（Necker的现有数据集）

  • 各个统计量的置信区间确实follow √N 的 scaling；
• 1000个成员数量对绝大多数统计量都够用，除了极端降水
• 空间平均/邻域平均：只对降水这类变量的预测准确性有提升效果（Fig10，降水的neiborhood分布较窄）

Tempest22

Tempest, K. I., Craig, G. C. & Brehmer, J. R. Convergence of forecast distributions in a 100,000-member idealised convective-scale ensemble. Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society 149, 677–702 (2023).

• 一个一维的理想积云对流模式，计算成本小，可以做1e6个成员

• 模式可以模拟非高斯和间歇特性

  • （风速分布介于laplacian和Gaussian之间，高度场分布是bimodal的）
• bootstrap来给出采样不确定性

• 对√n的scaling拟合：Fig7-9，mean、var拟合是非常好的，quantile的拟合在样本较少时更容易失效，例如到0.95开始不准；

  而对于bimodal的低点也有着不好的拟合

  quantile对于~1/√p(1-p)也有较好的拟合