施文

施文

清华大学地学系博士生

Note/ 罕见极端事件

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关于rare events的量化（和预报？），比较杂乱

Finkel SSW

Finkel, J., Abbot, D. S. & Weare, J. Path Properties of Atmospheric Transitions: Illustration with a Low-Order Sudden Stratospheric Warming Model. Journal of the Atmospheric Sciences 77, 2327–2347 (2020).

集合预报更适合于偏向平均的情景；预报outlier需要特殊方法

SSW as rare event

数值方法：Holton-Mass model

  • 原理：线性化QGPV，流函数和u；边界条件：顶为0，底连续。
  • 特点：抓住了rare events概率预报的关键困难
  • 双稳态：or 吸引子
    • 强极涡A – 平流层辐射平衡，对应热成风廓线
    • 弱极涡B – 罗斯贝波越过对流层后迅速向上传播，留下负动量
    • 在某些参数设置下，模型解有双稳态
    • SSW：A向B的转变

Commitor function

also known as the splitting probability

  • 定义
    • $q$ 存在两个稳态和中间态，初始状态为中间态时，演化到稳态B的概率
    • 条件平均初次到达时间 $\eta$：在上述演化的条件下，初次演化到B的时间的期望
  • 表示
    • 理论上是所有自由度空间的函数，但这样难以观测和表示，所以选取两个代表性的变量（CV）
    • 可以用回归的方法，根据函数是否单调、光滑，未解释方差是否较小……几个方面来确定这个代表性变量；文章中从EP关系的几项+不同垂直层来挑选CV
    • 那么通过 $q$ 表示的概率，$\eta$ 表示的提前时间，如果它们大于/小于一个阈值，代表事件很有可能将会短期内发生，因此选出的变量是极端事件的precursor（或者说early warning signs）
  • 计算
    • 暴力方法自然是直接数值计算（DNS），在衡量单次演化时成本尚可接受，但求期望太难
    • 文章基于一些动力系统理论的方法，发展了DGA解法，
      • 采样，选定基函数，然后计算内积；作者认为可以进一步采用核方法或神经网络
      • 可以用20d的短模拟，10^4-5个样本较精确的估算 $q$ 和 $\eta$ （和DNS对比，而DNS是基于长模拟的）
      • 文中用的基函数形式较简单，就是几个集合的 indicator function
  • 结果
    • 以U30和IHF表示了$q$ 和 $\eta$ ，也画出了函数的联合分布；可以看$q=0.5$在什么位置
    • 一般 $q$ 越大，$\eta$ 越小，但不是唯一依赖和决定的关系，还取决于背景状态（如U30和IHF）
    • DGA是reduced-order modeling之外的新方法，后者包括物理模型（如lorenz63）和机器学习模型

应用于实际预报

关于rare event的变化、调制、影响等研究，之前总是用long run来研究，但这些基于较低分辨率；高分辨率的天气预报数据未被用于检验。 S2S系统已经有一定能力预报极端事件，但是每个run较短，无法评估对极端事件气候态模拟的效果。如何把分散的，不同初值的演化路径拼接/结合起来，评估在整个相空间上的表现？

用基于马尔科夫状态模型的概率转移矩阵，表示TPT理论里的前向算子；用聚类分析的方法将状态空间划分为小块，完成了基函数表示；于是就可以用DGA算出前向和后向的commitor function 注意：

  • time-delay embedding：表示每个时刻的状态时，前几个时刻的状态也被当做自变量坐标(feature space)
    • 其思想和自回归模型、RNN相通
  • 和Holton-Mass定义的两个吸引子附近的空间不同，这次的自变量包含时间坐标，对AB空间的划分也是同时根据时间和U的特征来的
    • A：不在冬季；B：在冬季，且发生SSW，AB之外：即在冬季，还未发生SSW
  • 聚类是对每个时刻的空间（这个空间的坐标包含time-delay），把整个空间划分为互斥的几个集合
  • 可以算出密度 $\pi(z)$ ，前向CF $q^+$ （从AB之外进入B，即冬季目前还未发生SSW，但冬季结束之外会发生），后向 $q^-$ （从A进入AB之外，而不是从B，即冬天目前为止还未发生SSW）
    • 可以用递推关系递归地求解
  • $q$ 按 $\pi$ 为权重求平均，即是rate

用概率流方法，求出A到B的平均轨迹 $J_{AB}$ 或未曾进入B的平均轨迹 $J_{AA}$ ，$J_{AB}$ 进入B（上边缘）的通量即是SSW发生次数，其依赖于时间，所以可以求出SSW的季节分布特征

  • 用这种方法发现季节分布的双峰特征
  • S2S与ERA不同的再分析比较，S2S因为数据量大，结果更稳定；ERA40因为覆盖时间最长，结果和其他只覆盖了20世纪后半至今的不太一样

这种方法仍然是在观测附近采样。还可以看看其他的采样策略，如large-deviation theory，Quantile diffusion Monte Carlo

Bouchet & Ragone: Rare Event Algorithm

Ragone, F., Wouters, J. & Bouchet, F. Computation of extreme heat waves in climate models using a large deviation algorithm. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 115, 24–29 (2018).

描述一种“谱系选择算法”（genealogical selection algorithm），具体来说叫GKLT算法，将其运用于计算气候极端事件的统计特征 不再计算速率函数，而是计算极端事件的重现期 基本思想为对于动力系统的轨迹，每隔一定步长检查剪掉远离极端事件的，从极端性较强的分支作为初始条件，继续生成下一些分支，如此迭代。

将原来位于tail的概率分布转化为极端值附近的分布，再通过解析运算反求在原来样本中的分布。称之为importance sampling，得到了biased PDF。

子集的概率和全集的概率存在一个转换关系，这个关系是N->$\inf$渐进的；对偏差大的值，这个渐进误差小于直接蒙卡；概率转换关系基于样本和整体平均的温度极端程度（乘以跟选择强度有关的e指数）。 对每个算法选择的时间小段都满足这样的概率转换关系，推出整体时间内的期望。 可以不考虑统计物理和勒让德变换来直观理解。

选择轨迹时，克隆的权重和 $\exp(k * 上个时段内平均温度)$ 成正比，即随极端性指数增长

LDT 大偏差理论

知乎的通俗解释 随机游走的例子 远离均值时不满足中心极限定理，但是可以求出一个指数衰减的约束 指数衰减的包络即为速率函数

Webber：quantile diffusion Monte Carlo

online paper sample extreme tail behavior，从ragone的天气尺度推广到中尺度（计算消耗大，样本空间更小） 应用于强台风频率、MCS、极端洪水…… 从示意图来看和genealogical selection algorithm是类似的 同样用到了reaction coordinate的概念

Gessner：动力模式中的集中采样

[[Gessner et al-2021-Very rare heat extremes.pdf]]

在选定的一个极端事件之前，对restart输出加密，然后每个重启点施加扰动生成大集合，可以得到分布随起报时间、lead变化的数据集，和实际的极端事件等级对比

Finkel: rare events storyline

paper 在L96测试rare events算法，发现subset simulation在一些情况下并没有增强极端事件发生的概率，发展出一种提前增强（try-earlier）的增强算法

可以生成用于极端事件storyline方法的全样本